电机学入门第一步，从理解麦克斯韦方程组开始。
要说写麦克斯韦方程组分析的目的，主要是在电机学的书的开篇就碰到了，一方面是为了更深入的理解电机相关的后续公式，另一方面这毕竟是电磁学的基础，甚至可以说是奠基理论，学一学总是没坏处的，还能顺带复习一下高数曲线曲面积分。
麦克斯韦方程组由四个方程组成：
由于大部分是对场的表述，会涉及大量的相关表征量，此处作为基础知识储备。
其实很多都是抄的数学书啦。v ⃗ \vec{v} v v 的形式。
设稳定流动的(流速与时间t无关)、不可压缩流体(假设密度为1)的速度场由
v ⃗ ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i ⃗ + Q ( x , y , z ) j ⃗ + R ( x , y , z ) k ⃗ \vec{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}
v ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
给出,Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ 单位时间内流向Σ \Sigma Σ Φ \Phi Φ 。v ⃗ \vec{v} v n ⃗ \vec{n} n v ⃗ \vec{v} v
A ∣ v ⃗ ∣ cos θ = A v ⃗ ⋅ n ⃗ A|\vec{v}|\cos\theta=A\vec{v}\cdot\vec{n}
A ∣ v ∣ cos θ = A v ⋅ n
这即为我们要求的流量Φ \Phi Φ v ⃗ \vec{v} v n ⃗ \vec{n} n A v ⃗ ⋅ n ⃗ A\vec{v}\cdot\vec{n} A v ⋅ n n ⃗ \vec{n} n v ⃗ \vec{v} v n ⃗ \vec{n} n n ⃗ \vec{n} n Φ \Phi Φ A v ⃗ ⋅ n ⃗ A\vec{v}\cdot\vec{n} A v ⋅ n Σ \Sigma Σ Δ S i \Delta S_i Δ S i Σ \Sigma Σ v ⃗ \vec{v} v Δ S i \Delta S_i Δ S i Δ S i \Delta S_i Δ S i ( ξ i , η i . ζ i ) (\xi_i,\eta_i.\zeta_i) ( ξ i , η i . ζ i )
v i ⃗ = v ⃗ ( ξ i , η i , ζ i ) = P ( ξ i , η i , ζ i ) i ⃗ + Q ( ξ i , η i , ζ i ) j ⃗ + R ( ξ i , η i , ζ i ) k ⃗ \begin{aligned}\vec{v_i}&=\vec{v}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\\ &=P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\vec{i}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\vec{j}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\vec{k} \end{aligned}
v i = v ( ξ i , η i , ζ i ) = P ( ξ i , η i , ζ i ) i + Q ( ξ i , η i , ζ i ) j + R ( ξ i , η i , ζ i ) k
代替小块Δ S i \Delta S_i Δ S i ( ξ i , η i . ζ i ) (\xi_i,\eta_i.\zeta_i) ( ξ i , η i . ζ i ) Σ \Sigma Σ
n i ⃗ = cos α i i ⃗ + cos β j j ⃗ + cos γ k k ⃗ \vec{n_i}=\cos\alpha_i\vec{i}+\cos\beta_j\vec{j}+\cos\gamma_k\vec{k}
n i = cos α i i + cos β j j + cos γ k k
代替小块Δ S i \Delta S_i Δ S i 通过Δ S i \Delta S_i Δ S i ：
v i ⃗ ⋅ n i ⃗ Δ S i \vec{v_i}\cdot\vec{n_i}\Delta S_i
v i ⋅ n i Δ S i
将n个小块的流量求和即可，由于
cos α i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) y z cos β i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) z x cos γ i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) x y , \begin{aligned}&\cos\alpha_i\cdot\Delta S_i\approx(\Delta S_i)_{yz} \\ &\cos\beta_i\cdot\Delta S_i\approx(\Delta S_i)_{zx} \\ &\cos\gamma_i\cdot\Delta S_i\approx(\Delta S_i)_{xy}, \end{aligned}
cos α i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) y z cos β i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) z x cos γ i ⋅ Δ S i ≈ ( Δ S i ) x y ,
其中Δ S i x y {\Delta S_i}_{xy} Δ S i x y Δ S i \Delta S_i Δ S i
Φ ≈ ∑ i = 1 n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) y z + Q ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) z x + R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y ] \Phi\approx\displaystyle\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{zx}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}]
Φ ≈ i = 1 ∑ n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) y z + Q ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) z x + R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y ]
当各小块曲面的直径的最大值λ → \lambda \to λ → Φ \Phi Φ 对坐标的曲面积分 的定义，记作∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y \underset{\Sigma}{\iint}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy Σ ∬ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \underset{\Sigma}{\iint}P(x,y,z)dydz Σ ∬ P ( x , y , z ) d y d z Σ \Sigma Σ ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \underset{\Sigma}{\iint}Q(x,y,z)dzdx Σ ∬ Q ( x , y , z ) d z d x Σ \Sigma Σ ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)dxdy Σ ∬ R ( x , y , z ) d x d y Σ \Sigma Σ ( Δ S i ) x y (\Delta S_i)_{xy} ( Δ S i ) x y
∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ∬ Σ R ( x , y , z ) cos γ d S \underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)dxdy=\underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)\cos\gamma dS
Σ ∬ R ( x , y , z ) d x d y = Σ ∬ R ( x , y , z ) cos γ d S
其它类似。这里Σ \Sigma Σ
cos α = − z x 1 + z x 2 + z y 2 cos β = − z y 1 + z x 2 + z y 2 cos γ = 1 1 + z x 2 + z y 2 , \begin{aligned}&\cos\alpha=\dfrac{-z_x}{\sqrt{1+\textstyle z_x^2 +\textstyle z_y^2}} \\ & \cos\beta=\dfrac{-z_y}{\sqrt{1+\textstyle z_x^2 +\textstyle z_y^2}} \\ & \cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1+\textstyle z_x^2 +\textstyle z_y^2}},\end{aligned}
cos α = 1 + z x 2 + z y 2 − z x cos β = 1 + z x 2 + z y 2 − z y cos γ = 1 + z x 2 + z y 2 1 ,
若法向量方向沿z轴负向，则取相反数。而法向量方向并不影响上面两个曲面积分的等价关系，它只影响曲面积分与二重积分的关系，即
∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y ( Σ 取 上 侧 ) ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = − ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y ( Σ 取 下 侧 ) \begin{aligned}&\underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)dxdy=\underset{D_{xy}}{\iint}R(x,y,z(x,y))dxdy\space\space\space\space\space\space(\Sigma取上侧)\\ & \underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)dxdy=-\underset{D_{xy}}{\iint}R(x,y,z(x,y))dxdy\space \space\space(\Sigma取下侧)\end{aligned}
Σ ∬ R ( x , y , z ) d x d y = D x y ∬ R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y ( Σ 取 上 侧 ) Σ ∬ R ( x , y , z ) d x d y = − D x y ∬ R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y ( Σ 取 下 侧 )
这样我们就得到了对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分之间的关系：
∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y = ∬ Σ [ P ( x , y , z ) cos α + Q ( x , y , z ) cos β + R ( x , y , z ) cos γ ] d S \begin{aligned}& \underset{\Sigma}{\iint}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy \\ = & \underset{\Sigma}{\iint}[P(x,y,z)\cos\alpha+Q(x,y,z)\cos\beta+R(x,y,z)\cos\gamma]dS\end{aligned}
= Σ ∬ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y Σ ∬ [ P ( x , y , z ) cos α + Q ( x , y , z ) cos β + R ( x , y , z ) cos γ ] d S
两类曲面积分之间的关系也可以写做向量形式，即
∬ Σ A ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∬ Σ A ⃗ ⋅ n ⃗ d S \underset{\Sigma}{\iint}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\underset{\Sigma}{\iint}\vec{A}\cdot\vec{n}dS
Σ ∬ A ⋅ d S = Σ ∬ A ⋅ n d S
或
∬ Σ A ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∬ Σ A n d S \underset{\Sigma}{\iint}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\underset{\Sigma}{\iint}A_ndS
Σ ∬ A ⋅ d S = Σ ∬ A n d S
其中，A ⃗ \vec{A} A n ⃗ \vec{n} n ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) ( cos α , cos β , cos γ ) d S ⃗ = n ⃗ d S = ( d y d z , d z d x , d x d y ) d\vec{S}=\vec{n}dS=(dydz,dzdx,dxdy) d S = n d S = ( d y d z , d z d x , d x d y ) 有向曲面元 ，A n A_n A n A ⃗ \vec{A} A n ⃗ \vec{n} n
高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：定理1：设空间闭区域Ω \Omega Ω Σ \Sigma Σ (分片光滑的曲面是指由有限个光滑曲面组成的曲面)，若函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)与R(x,y,z)在Ω \Omega Ω
∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \underset{\Omega}{\iiint}\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\bigg)dv = \underset{\Sigma}{\oiint}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
Ω ∭ ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) d v = Σ ∬ P d y d z + Q d z d x + R d x d y
或
∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∯ Σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S \underset{\Omega}{\iiint}\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\bigg)dv = \underset{\Sigma}{\oiint}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS
Ω ∭ ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) d v = Σ ∬ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S
其中，Σ \Sigma Σ Ω \Omega Ω cos α , cos β , cos γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cos α , cos β , cos γ Σ \Sigma Σ 。这两个公式叫做高斯公式 。F ⃗ \vec{F} F i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j k ⃗ \vec{k} k Σ \Sigma Σ n ⃗ \vec{n} n Σ \Sigma Σ
∬ Σ F ⃗ ⋅ n ⃗ d S \underset{\Sigma}{\iint}\vec{F}\cdot\vec{n}dS
Σ ∬ F ⋅ n d S
称为向量场F ⃗ \vec{F} F Σ \Sigma Σ 通量，flux (或流量)。物理意义 ：设在闭区域Ω \Omega Ω
v ⃗ ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i ⃗ + Q ( x , y , z ) j ⃗ + R ( x , y , z ) k ⃗ , \vec{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k},
v ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ,
其中函数P、Q、R均具有一阶连续偏导数，Σ \Sigma Σ Ω \Omega Ω n ⃗ \vec{n} n Σ \Sigma Σ 单位时间内流体经过曲面Σ \Sigma Σ
∬ Σ v ⃗ ⋅ n ⃗ d S = ∬ Σ v n d S = ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y . \underset{\Sigma}{\iint}\vec{v}\cdot\vec{n}dS=\underset{\Sigma}{\iint}v_ndS=\underset{\Sigma}{\iint}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.
Σ ∬ v ⋅ n d S = Σ ∬ v n d S = Σ ∬ P d y d z + Q d z d x + R d x d y .
因此，高斯公式的右端可以解释为速度场v ⃗ \vec{v} v Σ \Sigma Σ 流体在单位时间内离开闭区域Ω \Omega Ω 。由于假定流体不可压缩且流动稳定，因此在流体离开区域Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω 分布在Ω \Omega Ω 。Ω \Omega Ω V 除以高斯公式两端，得：
1 V ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = 1 V ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = 1 V ∬ Σ v n d S \frac{1}{V}\underset{\Omega}{\iiint}\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\bigg)dv = \frac{1}{V}\underset{\Sigma}{\oiint}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\frac{1}{V}\underset{\Sigma}{\iint}v_ndS
V 1 Ω ∭ ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) d v = V 1 Σ ∬ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = V 1 Σ ∬ v n d S
上式左端表示Ω \Omega Ω 。应用积分中值定理于左端，则有：
( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) ∣ ( ξ , η , ζ ) = 1 V ∬ Σ v n d S \bigg(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\bigg)\bigg|_{(\xi,\eta,\zeta)}=\frac{1}{V}\underset{\Sigma}{\iint}v_ndS
( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) ∣ ∣ ∣ ∣ ( ξ , η , ζ ) = V 1 Σ ∬ v n d S
这里( ξ , η , ζ ) (\xi,\eta,\zeta) ( ξ , η , ζ ) Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω
∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = lim Ω → M 1 V ∯ Σ v n d S . \dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}=\underset{\Omega\to M}{\lim}\dfrac{1}{V}\underset{\Sigma}{\oiint}v_ndS.
∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R = Ω → M lim V 1 Σ ∬ v n d S .
上式左端称为速度场v ⃗ \vec{v} v 通量密度 或散度 ，记作div v ⃗ ( M ) \vec{v}(M) v ( M )
d i v v ⃗ ( M ) = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z . div\space\vec{v}(M)=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}.
d i v v ( M ) = ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R .
d i v v ⃗ ( M ) div\space\vec{v}(M) d i v v ( M ) 源头强度 。因此我们可以更加精准的总结：矢量场的散度是指当体积趋向于零时，每单位体积内的矢量向外的净通量。实质上，矢量场的散度表示从一个点出发的场的通量，它指出了在那个点处的合成源。矢量场的散度是一个纯数值 。d i v v ⃗ ( M ) div\space\vec{v}(M) d i v v ( M ) 正源 ；在d i v v ⃗ ( M ) div\space\vec{v}(M) d i v v ( M ) 负源 (又称为汇 或洞 )；在d i v v ⃗ ( M ) div\space\vec{v}(M) d i v v ( M ) 无源 。F ⃗ \vec{F} F i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j k ⃗ \vec{k} k
d i v F ⃗ = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z div\space\vec{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}
d i v F = ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R
为向量场F ⃗ \vec{F} F ∇ \nabla ∇
d i v F ⃗ = ∇ ⋅ F ⃗ div\space\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}
d i v F = ∇ ⋅ F
若向量场F ⃗ \vec{F} F F ⃗ \vec{F} F 无源场 。F ⃗ \vec{F} F
∭ Ω d i v F ⃗ d v = ∬ Σ F n d S \underset{\Omega}{\iiint}div\space \vec{F}dv=\underset{\Sigma}{\iint}F_ndS
Ω ∭ d i v F d v = Σ ∬ F n d S
或
∭ Ω ∇ ⋅ F ⃗ d v = ∬ Σ F n d S \underset{\Omega}{\iiint}\nabla\cdot\vec{F}dv=\underset{\Sigma}{\iint}F_ndS
Ω ∭ ∇ ⋅ F d v = Σ ∬ F n d S
上式也被称为散度定理 ，它表明，向量场F ⃗ \vec{F} F Σ \Sigma Σ F ⃗ \vec{F} F Σ \Sigma Σ Ω \Omega Ω 。或者也可以描述为：矢量场通过任意闭合曲面向外的总通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的体积内的积分 。这个定理使得体积分和面积分能够相互转化。
由于涉及了∇ \nabla ∇
向量微分算子，或Nabla算子(Nabla Operator)，或劈形算子。其形式化定义为
∇ = d d r ⃗ \nabla=\dfrac{d}{d\vec{r}}
∇ = d r d
在n为空间中，分母dr ⃗ \vec{r} r ∇ \nabla ∇
∇ = ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ + ∂ ∂ z k ⃗ \nabla=\dfrac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\dfrac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\dfrac{\partial}{\partial z}\vec{k}
∇ = ∂ x ∂ i + ∂ y ∂ j + ∂ z ∂ k
或
∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) \nabla=(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})
∇ = ( ∂ x ∂ , ∂ y ∂ , ∂ z ∂ )
严格来说，∇ \nabla ∇ ∇ \nabla ∇
g r a d f = ∇ f d i v v ⃗ = ∇ ⋅ v ⃗ c u r l v ⃗ = ∇ × v ⃗ \begin{aligned}grad\space f&=\nabla f \\div\space \vec{v} &=\nabla\cdot\vec{v}\\curl\space \vec{v} &=\nabla\times\vec{v}\end{aligned}
g r a d f d i v v c u r l v = ∇ f = ∇ ⋅ v = ∇ × v
斯托克斯公式描述了曲面Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ 定理2：设Γ \Gamma Γ Σ \Sigma Σ Γ \Gamma Γ Γ \Gamma Γ Σ \Sigma Σ Γ \Gamma Γ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ Γ \Gamma Γ
∬ Σ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \underset{\Sigma}{\iint}\bigg(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\bigg)dydz+\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\bigg)dzdx+\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)dxdy=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz
Σ ∬ ( ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q ) d y d z + ( ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R ) d z d x + ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d x d y = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
该公式称为斯托克斯公式。为了便于记忆，利用行列式记号将斯托克斯公式改为：
∬ Σ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \underset{\Sigma}{\iint}\begin{vmatrix}dydz & dzdx & dxdy \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz
Σ ∬ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ d y d z ∂ x ∂ P d z d x ∂ y ∂ Q d x d y ∂ z ∂ R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
将其中的行列式按第一行展开，并把∂ ∂ y \dfrac{\partial}{\partial y} ∂ y ∂ ∂ R ∂ y \dfrac{\partial R}{\partial y} ∂ y ∂ R
∬ Σ ∣ cos α cos β cos γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ d S = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \underset{\Sigma}{\iint}\begin{vmatrix}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}dS=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz
Σ ∬ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ cos α ∂ x ∂ P cos β ∂ y ∂ Q cos γ ∂ z ∂ R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ d S = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
其中n ⃗ \vec{n} n cos α , cos β , cos γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cos α , cos β , cos γ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ F ⃗ \vec{F} F i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j k ⃗ \vec{k} k Γ \Gamma Γ F ⃗ \vec{F} F τ ⃗ \vec{\tau} τ Γ \Gamma Γ
∮ Γ F ⃗ ⋅ τ ⃗ d s \oint_\Gamma\vec{F}\cdot\vec{\tau}ds
∮ Γ F ⋅ τ d s
称为向量场F ⃗ \vec{F} F Γ \Gamma Γ 环流量 。
∮ Γ F ⃗ ⋅ τ ⃗ d s = ∮ Γ F ⃗ ⋅ d r ⃗ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \oint_\Gamma\vec{F}\cdot\vec{\tau}ds=\oint_\Gamma\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz
∮ Γ F ⋅ τ d s = ∮ Γ F ⋅ d r = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
其中，d r ⃗ = τ ⃗ d s = ( d x , d y , d z ) d\vec{r}=\vec{\tau} ds=(dx,dy,dz) d r = τ d s = ( d x , d y , d z ) 有向曲线元 。类似于由向量场的通量可以引出向量场在一点处的通量密度(散度)一样，由向量场沿一闭曲线的环流量可以引出向量场在一点处的环量密度或旋度 ，它是一个向量，定义如下：F ⃗ \vec{F} F i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j k ⃗ \vec{k} k F ⃗ \vec{F} F Σ \Sigma Σ Γ \Gamma Γ 则向量场F ⃗ \vec{F} F Γ \Gamma Γ Δ S \Delta S Δ S Σ \Sigma Σ 。数学表述为：
r o t F ⃗ = lim Δ S → 0 ∮ Γ F ⃗ d r ⃗ Δ S ⋅ a n ⃗ = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) a x ⃗ + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) a y ⃗ + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) a z ⃗ \begin{aligned}\mathbf{rot}\space \vec{F} & =\underset{\Delta S\to 0}{\lim}\dfrac{\oint_\Gamma\vec{F}d\vec{r}}{\Delta S}\cdot \vec{a_n} \\ & \\ & =\bigg(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}\bigg)\vec{a_x}+\bigg(\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}\bigg)\vec{a_y}+\bigg(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\bigg)\vec{a_z}\end{aligned}
r o t F = Δ S → 0 lim Δ S ∮ Γ F d r ⋅ a n = ( ∂ y ∂ F z − ∂ z ∂ F y ) a x + ( ∂ z ∂ F x − ∂ x ∂ F z ) a y + ( ∂ x ∂ F y − ∂ y ∂ F x ) a z
其中a n ⃗ \vec{a_n} a n
( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i ⃗ + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) j ⃗ + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k ⃗ \bigg(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\bigg)\vec{i}+\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\bigg)\vec{j}+\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\vec{k}
( ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q ) i + ( ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R ) j + ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) k
那么这个矢量称为向量场F ⃗ \vec{F} F 旋度 ，记作r o t F ⃗ \mathbf{rot}\space \vec{F} r o t F c u r l F ⃗ \mathbf{curl}\space \vec{F} c u r l F
r o t F ⃗ = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i ⃗ + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) j ⃗ + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k ⃗ \mathbf{rot}\space \vec{F}=\bigg(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\bigg)\vec{i}+\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\bigg)\vec{j}+\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\vec{k}
r o t F = ( ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q ) i + ( ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R ) j + ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) k
与散度的推导类似，矢量场的旋度是当曲面面积S收缩至零时，矢量场沿包围不闭合曲面的边界的线积分。实质上，旋度是矢量场关于一个点的合成环流量，它可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。旋度矢量的方向是这一点的合成环量的旋转轴，与向量旋转的方向满足右手法则，而旋度矢量的大小是合成环量与旋转路径所围成的曲面微元面积之比 。∇ \nabla ∇ F ⃗ \vec{F} F r o t F ⃗ \mathbf{rot}\space \vec{F} r o t F ∇ × F ⃗ \nabla\times\vec{F} ∇ × F
r o t F ⃗ = ∇ × F ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ . \mathbf{rot}\space \vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}.
r o t F = ∇ × F = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i ∂ x ∂ P j ∂ y ∂ Q k ∂ z ∂ R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
若向量场F ⃗ \vec{F} F r o t F ⃗ \mathbf{rot}\space \vec{F} r o t F F ⃗ \vec{F} F ，而一个无源且无旋的向量场称为调和场 。调和场是物理学中一类重要的向量场，它与调和函数有着密切的联系。Σ \Sigma Σ
n ⃗ = cos α i ⃗ + cos β j ⃗ + cos γ k ⃗ \vec{n}=\cos\alpha\vec{i}+\cos\beta\vec{j}+\cos\gamma\vec{k}
n = cos α i + cos β j + cos γ k
则
r o t F ⃗ ⋅ n ⃗ = ∇ × F ⃗ ⋅ n ⃗ = ∣ cos α cos β cos γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \mathbf{rot}\space \vec{F}\cdot\vec{n}=\nabla\times\vec{F}\cdot\vec{n}=\begin{vmatrix}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}
r o t F ⋅ n = ∇ × F ⋅ n = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ cos α ∂ x ∂ P cos β ∂ y ∂ Q cos γ ∂ z ∂ R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
于是，斯托克斯公式可以写为向量形式，即
∬ Σ r o t F ⃗ ⋅ n ⃗ d S = ∮ Γ F ⃗ ⋅ τ ⃗ d s \underset{\Sigma}{\iint}\mathbf{rot}\space \vec{F}\cdot\vec{n}dS=\oint_\Gamma\vec{F}\cdot\vec{\tau}ds
Σ ∬ r o t F ⋅ n d S = ∮ Γ F ⋅ τ d s
或
∬ Σ ( r o t F ⃗ ) n d S = ∮ Γ F ⃗ τ d s \underset{\Sigma}{\iint}(\mathbf{rot}\space\vec{F})_ndS=\oint_\Gamma\vec{F}_\tau ds
Σ ∬ ( r o t F ) n d S = ∮ Γ F τ d s
上式表示向量场F ⃗ \vec{F} F Γ \Gamma Γ F ⃗ \vec{F} F Σ \Sigma Σ Γ \Gamma Γ Σ \Sigma Σ r o t F ⃗ \mathbf{rot}\space\vec{F} r o t F L 转动，角速度为 ω \omega ω M 为刚体内任意一点，在定轴 L 上任取一点 O 为坐标原点，作空间直角坐标系，使 z 轴与定轴 L 重合，则 ω ⃗ = ω k ⃗ = ( 0 , 0 , ω ) \vec{\omega}=\omega\vec{k}=(0,0,\omega) ω = ω k = ( 0 , 0 , ω ) M 可用向量r ⃗ = O M ⃗ = ( x , y , z ) \vec{r}=\vec{OM}=(x,y,z) r = O M = ( x , y , z ) M 的线速度v ⃗ \vec{v} v
v ⃗ = ω ⃗ × r ⃗ \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}
v = ω × r
由此有：
v ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 0 0 ω x y z ∣ = ( − ω y , ω x , 0 ) \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & \omega \\ x & y & z\end{vmatrix}=(-\omega y,\omega x,0)
v = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i 0 x j 0 y k ω z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ( − ω y , ω x , 0 )
而线速度的旋度
r o t v ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z − ω y ω x 0 ∣ = ( 0 , 0 , 2 ω ) = 2 ω ⃗ \mathbf{rot}\space\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ -\omega y & \omega x & 0\end{vmatrix}=(0,0,2\omega)=2\vec{\omega}
r o t v = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i ∂ x ∂ − ω y j ∂ y ∂ ω x k ∂ z ∂ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ( 0 , 0 , 2 ω ) = 2 ω
可以看到速度场的旋度与刚体角速度的关系，同方向且成二倍关系，若考虑转动惯量，速度场的旋度与角加速度也有类似的关系。
那么接下来就从电磁学的角度解释散度与旋度等场的表征量。
在这里要说的高斯定律其实就是在静电场与磁场中去分别解释物理世界。前面已经引入了高斯公式，在电磁学中主要用到的是通量形式，即前面提到的通过曲面的通量等于散度在该区域内的积分。而散度其实就是通量密度，在定义中可以看到是将产生通量的场缩向了一点，故我们理解为辐射能量或吸收能量的一个源 。那么在静电场中，这个源就是某一个电荷，它激发电场，产生电通量。我们知道这样的规律：通过一个闭合曲面的电通量是和这个曲面内包含的电荷总量成正比的 ，这就是静电场中的高斯定律的解释，即真空条件下：
Φ = ∯ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = 1 ε 0 ∑ i = 1 n q i = ∰ V ρ 0 d V ( 1 − 1 ) \Phi=\oiint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{i=1}^n q_i=\oiiint_V \rho_0dV\space\space\space\space(1-1)
Φ = ∬ S E ⋅ d S = ε 0 1 i = 1 ∑ n q i = ∭ V ρ 0 d V ( 1 − 1 )
这反映了静电场是有源场，或者叫散度场，其源为电荷。在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1 ε 0 \dfrac{1}{\varepsilon_0} ε 0 1 ε \varepsilon ε ρ 0 \rho_0 ρ 0 ρ 0 \rho_0 ρ 0
此处的高斯定律与库仑定律引出了物理世界的一个规律：平方反比规律，有空分析一下。
式(1-1)即麦克斯韦方程组积分形式的第一个式子。当不是真空条件，电介质极化后产生的极化电荷改变了原来的电场分布，于是上式变成：
Φ = ∯ S D ⃗ ⋅ d S ⃗ = 1 ε 0 ∑ ( q 0 + q p ) ( ∗ ) \Phi=\oiint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\displaystyle\sum (q_0+q_p)\space\space\space\space(*)
Φ = ∬ S D ⋅ d S = ε 0 1 ∑ ( q 0 + q p ) ( ∗ )
这里下面的推导可能有些问题，涉及一些极化强度和电荷密度的问题，还有对电位移的理解，现在没必要抠那么细，留待后续补充吧。
式(*)表示非真空静电场中任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面内的自由电荷的代数和 。两边同时除以该处区域体积并取极限(求散度的操作)，等式左边变为场的散度，等式右边变为电荷密度，即：
∇ ⋅ E ⃗ = 1 ε 0 ( ρ 0 + ρ p ) ( ∗ ∗ ) \nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}(\rho_0+\rho_p)\space\space\space\space(**)
∇ ⋅ E = ε 0 1 ( ρ 0 + ρ p ) ( ∗ ∗ )
进一步引入概念电位移矢量 ，记作D ⃗ \vec{D} D ，有
D ⃗ = ε 0 E ⃗ + P ⃗ \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}
D = ε 0 E + P
其中P ⃗ \vec{P} P 电极化强度 ，则式(**)就变为
∇ ⋅ D ⃗ = ρ 0 ( 2 − 1 ) \nabla\cdot\vec{D}=\rho_0\space\space\space\space(2-1)
∇ ⋅ D = ρ 0 ( 2 − 1 )
式(2-1)即静电学高斯定律的微分形式，也是麦克斯韦方程组微分形式的第一个式子，表示电位移的散度等于该点电荷密度。
在磁场中，高斯定律的解释出现了本质的区别，无论在稳恒磁场还是时变磁场下，由于磁力线都是闭合的，任何一条磁力线进入某个闭合曲面，必然会从闭合曲面内部出来，在某处形成闭合，那么由于通量在侧的方向选择不同符号不同的条件下，一定会有磁通量正负相抵，即：
Φ = ∯ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ = 0 ( 1 − 2 ) \Phi=\oiint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0\space\space\space\space(1-2)
Φ = ∬ S B ⋅ d S = 0 ( 1 − 2 )
对应的微分形式为：
∇ ⋅ B ⃗ = 0 ( 2 − 2 ) \nabla\cdot\vec{B}=0\space\space\space\space(2-2)
∇ ⋅ B = 0 ( 2 − 2 )
因此，磁场中的高斯定理说明了自然界不存在磁单极子 ，磁场为无源场，磁感线(磁力线)都是无头无尾的闭合曲线；磁场量可以由源电流的瞬时值唯一确定，因而磁场随时间的变化直接跟随源电流的时间变化。
法拉第电磁感应定律是描述磁生电 的物理规律，这个大多数人耳熟能详，也知道那个最简单的实验：放置两块分别为N、S极的永磁体，它们中间会形成大致平行的磁感线束，那么用一个金属棒在它们中间作切割磁感线运动，此时可以测得金属棒两端产生了电流。如果金属棒不动，而去改变磁场强度或磁场分布，同样能使金属棒两端产生电流。若通过回路(曲面)的磁通量发生了改变，回路中就会产生电路，且磁通量改变的越快，产生的电流越大 。注意这里的曲面一定不是闭曲面，由高斯磁定律我们知道通过闭曲面的磁通量一定为0，那么一定无法产生电流。
感生、动生、感应的关系以及感生与动生本质是否一样，还需进一步分析。
这里的产生的电流要如何描述呢？定律已经说明了，这个过程叫感应，产生的电流叫感应电流，产生的电动势叫感应电动势。这个在高中已经学的很明白了，而且还有叫法上的区分：通过前面的实验能得知，感应电流来源有两种，那么称导体切割磁感线运动产生的电流(电动势)为动生电流(电动势)；称改变磁通量得到的电流(电动势)为感生电流(电动势)。涡旋电场是非保守场即非势场，涡旋电场力是导致感应电动势的非静电力 。
涉及保守场(无旋场且第二类曲线积分与路径无关)、无旋场、有势场等概念区分，后面会在其他文章中讨论，这里就不再详细展开。
那么在磁感线束周围感生出了涡旋电场，而涡旋电场又对处于其中的带电粒子施以力的作用，这时就又要提及电动势的定义：电动势的大小等于非静电力把单位正电荷从电源负极经过电源内部移到电源正极所做的功。而在涡旋电场中，电动势emf我们可以这样去描述：假设涡旋电场中有闭合回路C，则
e m f = ∮ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ emf=\oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}
e m f = ∮ C E ⋅ d l
其单位是伏特(V)。其中d l ⃗ = τ ⃗ d s d\vec{l}=\vec{\tau}ds d l = τ d s E ⃗ \vec{E} E emf是不为0的，这里也验证了涡旋电场为非势场，即它沿闭合曲线的环量不为零。在有势场中，例如静电场，沿任意闭合曲线的环量均为0(静电场为无旋场) 。根据法拉第电磁感应定律，这个电动势由磁通量的时间变化率决定：
∮ C E ⃗ ⋅ d l ⃗ = − ∂ ∂ t ∬ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ ( 1 − 3 ) \oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\dfrac{\partial}{\partial t}\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}\space\space\space\space(1-3)
∮ C E ⋅ d l = − ∂ t ∂ ∬ S B ⋅ d S ( 1 − 3 )
这便是麦克斯韦方程组积分形式的第三个式子。其中S为穿过闭合回路C所包围的不闭合曲面。注意磁通量实际上是关于(x,y,z,t)的变化量，故这里需要用偏微分。这里的负号反映的是楞次定律的内容，它表明回路中所产生的感应电动势的极性，总是使产生的感应电流i i n d u c e d i_{induced} i i n d u c e d B ⃗ i n d u c e d \vec{B}_{induced} B i n d u c e d B ⃗ \vec{B} B 。也是自然界经典负反馈的体现。
∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t ( 2 − 3 ) \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}\space\space\space\space(2-3)
∇ × E = − ∂ t ∂ B ( 2 − 3 )
代入求旋度的结果，则有：
( ∂ E ⃗ z ∂ y − ∂ E ⃗ y ∂ z ) a ⃗ x + ( ∂ E ⃗ x ∂ z − ∂ E ⃗ z ∂ x ) a ⃗ y + ( ∂ E ⃗ y ∂ x − ∂ E ⃗ x ∂ y ) a ⃗ z = − ∂ B ⃗ x ∂ t a ⃗ x − ∂ B ⃗ y ∂ t a ⃗ y − ∂ B ⃗ z ∂ t a ⃗ z \begin{aligned} & \bigg(\dfrac{\partial\vec{E}_z}{\partial y}-\dfrac{\partial\vec{E}_y}{\partial z}\bigg)\vec{a}_x+\bigg(\dfrac{\partial\vec{E}_x}{\partial z}-\dfrac{\partial\vec{E}_z}{\partial x}\bigg)\vec{a}_y+\bigg(\dfrac{\partial\vec{E}_y}{\partial x}-\dfrac{\partial\vec{E}_x}{\partial y}\bigg)\vec{a}_z \\ & \\ = & -\dfrac{\partial\vec{B}_x}{\partial t}\vec{a}_x-\dfrac{\partial\vec{B}_y}{\partial t}\vec{a}_y-\dfrac{\partial\vec{B}_z}{\partial t}\vec{a}_z\end{aligned}
= ( ∂ y ∂ E z − ∂ z ∂ E y ) a x + ( ∂ z ∂ E x − ∂ x ∂ E z ) a y + ( ∂ x ∂ E y − ∂ y ∂ E x ) a z − ∂ t ∂ B x a x − ∂ t ∂ B y a y − ∂ t ∂ B z a z
匹配各分量，则有：
∂ E ⃗ z ∂ y − ∂ E ⃗ y ∂ z = − ∂ B ⃗ x ∂ t ∂ E ⃗ x ∂ z − ∂ E ⃗ z ∂ x = − ∂ B ⃗ y ∂ t ∂ E ⃗ y ∂ x − ∂ E ⃗ x ∂ y = − ∂ B ⃗ z ∂ t \begin{aligned} & \dfrac{\partial\vec{E}_z}{\partial y}-\dfrac{\partial\vec{E}_y}{\partial z}=-\dfrac{\partial\vec{B}_x}{\partial t} \\ & \dfrac{\partial\vec{E}_x}{\partial z}-\dfrac{\partial\vec{E}_z}{\partial x}=-\dfrac{\partial\vec{B}_y}{\partial t} \\ & \dfrac{\partial\vec{E}_y}{\partial x}-\dfrac{\partial\vec{E}_x}{\partial y}=-\dfrac{\partial\vec{B}_z}{\partial t}\end{aligned}
∂ y ∂ E z − ∂ z ∂ E y = − ∂ t ∂ B x ∂ z ∂ E x − ∂ x ∂ E z = − ∂ t ∂ B y ∂ x ∂ E y − ∂ y ∂ E x = − ∂ t ∂ B z
法拉第电磁感应定律表明时变磁场能够产生或感应出电场，而安培定律表明反之也是正确的，即：时变电场能够产生或感应出磁场 。在这里都说麦克斯韦是对安培定律进行了修正，我们就开一小章说一下修正了什么。当然，直接理解安培-麦克斯韦定律也不会漏下什么。
安培-麦克斯韦定律的主要思想是：穿过曲面的电流或者变化的电通量会产生沿曲面边界的环绕磁场 。数学表述为：
∮ C B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ 0 ( I e n c + ε 0 d d t ∬ S E ⃗ ⋅ n ⃗ d S ) ( ∗ ∗ ∗ ) \oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\bigg(I_{enc}+\varepsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\vec{E}\cdot\vec{n}dS\bigg)\space\space\space\space(***)
∮ C B ⋅ d l = μ 0 ( I e n c + ε 0 d t d ∬ S E ⋅ n d S ) ( ∗ ∗ ∗ )
上式是真空中的安培-麦克斯韦定律表述，其中μ 0 \mu_0 μ 0 I e n c I_{enc} I e n c ε 0 \varepsilon_0 ε 0 磁动势(mmf) ，它正比于这个路径C所包围的电流和以此路径为边界的任意曲面S的电通量变化率。如果要用它来确定磁场强度矢量的值，还需要将B ⃗ \vec{B} B
其实我是没想到分析一个麦克斯韦方程组，会牵出这么多东西，而且许多介绍方程组的文章彼此并不统一，公式写法多样，引入方式也极具多样化，导致很多初学者会很懵。这中间我搞来了好多本书、论文参考，方程组本身写起来很简单，但是如果想要将每一个涉及的点都详细展开，那将会写出一本厚厚的书，尤其是夹带了数学背景的前提下，简单的几个方程就变得极其复杂化。我写到这里就已经感觉不能继续深究下去了，电磁学、电磁场与电磁波、电动力学、场论、矢量分析……后面还会涉及的越来越多，这里是写不完的，毕竟我只是为了理解电机的几个公式，有些内容留待之后在其他文章中补充吧。
